제어공학 입문 3. Introduction to Feedback Control System

 

 

 

제 3장 Introduction to Feedback Control Systems

 

3.1 Response of First-Order Systems

 

 output $x(t)$의 값이 $F$가 되기를 원하여 input $F$를 가한 상황을 생각해보자. output $x(t)$의 response가 1계 미분방정식을 따른다고 가정하면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation} x(t) + \tau \dot{x} (t) = F \tag{3.1.1}  \end{equation}

양변에 라플라스 변환을 취하면

\begin{equation*} \left[ X(s) + \tau sX(s) - \tau x(0) \right] = \frac{F}{s}  \end{equation*}

이고, 정리하면

\begin{equation*} X(s) = \frac{\tau x(0)}{1+\tau s} + \frac{F}{s(1+ \tau s)}  \end{equation*}

이다. 양변에 라플라스 역변환을 취하면

\begin{equation} \label{eq:3.1.2} x(t) = \underbrace{F}_{\text{steady state}} + \underbrace{ \left[ x(0)-F \right] e^{-t/ \tau}}_{\text{transient}} \tag{3.1.2} \end{equation}

 

만약 $x(0) = 0$이면

\begin{equation*} x(t) = F \left[ 1-e^{-t/ \tau}\right] \end{equation*}

이고, $t = \tau$일 때 $x(t)$의 값은 $F$의 약 $63\%$이다. response의 값이 steady-state response의 $63\%$가 되는 시간 $\tau$를 시간 상수라 부른다. $t = 4\tau$인 경우 response는 steady-state value의 약 $98\%$이다. $t = 4\tau$일 때 비록 response의 값이 steady-state의 값과 $2\%$ 차이가 나지만, 공학적으로는 $t = 4\tau$에 steady-state에 도달했다고 본다.

 

3.2 The Final Value Theorem

Final value theorem은 라플라스 변환된 함수로부터 원함수의 수렴값을 알아내는 방법이며, 다음과 같이 표현된다.

\begin{equation} \label{eq:3.2.1} \lim_{s \to 0}{sX(s)} = \lim_{t \to \infty}x(t). \tag{3.2.1} \end{equation}

엄밀하지 않은 증명은 다음과 같다. 먼저 Derivative property에 의해

\begin{equation*} \mathcal{L} \left[ \dot{x} (t) \right] = sX(s) - x(0) \end{equation*}

이다. 라플라스 변환의 정의에 따라 다시 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{equation*} \int_{0}^{\infty} \dot{x}(t) e^{-st}dt = sX(s) - x(0) \end{equation*}

이제 양변에 극한을 취하면,

\begin{equation*} \lim_{s \to 0} \int_{0}^{\infty} \dot{x}(t) e^{-st}dt = \lim_{s \to 0} sX(s) - x(0) \end{equation*}

여기서 좌변의 극한기호와 적분기호를 교환하면, ^[각주:1]

\begin{equation*} \int_{0}^{\infty} \left[ \lim_{s \to 0} \dot{x} (t) e^{-st}\right] dt = \int_{0}^{\infty} \dot{x} (t) dt = \lim_{t \to \infty} x(t)- x(0) = \lim_{s \to 0} sX(s) - x(0). \end{equation*}

양변에 $x(0)$를 더하면 증명이 끝난다.

 

3.3 Control System Terminology

그림 3.3.1: Feedback control system

 

 본격적으로 제어란 무엇인지 공부해보자. 기본적으로 제어란 원하는 output을 얻기 위해 적절한 input과 system을 설계하는 일이다. 자동차의 속력을 제어하는 상황을 예를 들어 생각해보자. 자동차 몸체의 속력이 $60$ km/h로 유지되길 원한다고 해 보자. 그림 3.3.1은 기본적인 제어계의 도식을 보여준다. 이와 비교하며 생각해보자. 자동차 몸체와 같은 제어의 대상을 plant라 부르고, 자동차의 속력과 같이 우리가 제어해야 하는 변수를 controlled variable이라 부른다. 속력 $60$ km/h와 같이 우리가 원하는 controlled variable의 값은 command 또는 reference, input이라 부른다. 우리는 원하는 output을 얻기 위해 plant를 모델링한다. 자동차의 운동방정식을 세우는 것이 모델링의 예시가 될 것이다. 그러나 모델링 과정에서 항상 오차가 발생한다. 자동차 바퀴가 지면과 미끄러지지 않는다는 가정을 하거나, 예측 불가능한 공기 저항 등으로부터 우리의 model과 현실 대상의 차이가 발생한다. 이러한 오차 원인들을 disturbance라 부른다. 기본적으로 disturbance는 우리의 모델에는 포함되지 않는 예측 불가능한 현실의 요인들이다. Disturbance가 존재함에도 plant를 정확히 제어하기 위해서는 plant를 측정하는 센서가 필요하다. 센서는 input으로 controlled variable을 측정하여 output인 sensor signal을 내보낸다. 센서의 측정 오차가 없고 즉각적인 측정이 가능하다면 센서의 input과 output은 같다. 이때 그림 3.3.1에서 sensor transfer function $H(s)$는 $H(s) = 1$이 될 것이다. 우리가 원하는 command와 실제 controlled variable의 값의 차이, 즉 오차 $E(s) = R(s) - C(s)$는 controller에 전달된다. controller는 이로부터 control signal을 actuator로 전달하며, actuator는 actuating signal을 plant로 전달한다. 자동차 속력 제어 예시에서 controller는 자동차 내부 컴퓨터가 될 것이며, 컴퓨터는 속력의 오차로부터 엔진에 명령을 내릴 것이다. 여기서 엔진이 actuator에 해당된다. Disturbance의 존재 때문에 controlled variable의 값을 센서가 측정하여 controller로 전달하는 과정이 필연적이며, 이와 같은 제어 방식을 feedback control이라 한다.

 

3.4 The PID Control Algorithm

 이번 절에서는 기본적인 제어 방법인 비레 제어(proportional control),

적분 제어(integration control), 미분 제어(derivative control)에 대해 알아보자.

이들은 controller가 error signal에 대해 어떤 control signal을 내보내는지에 따라 구분된다.

이러한 제어 방법론들은 controlled variable이 다음 목적들을 달성하도록 하기 위해 발전되어 왔다.

 

1. 시간이 충분히 흘렀을 때($t = 4\tau$)의 오차 steady-state error를 최소화한다. 

2. Controlled variable이 수렴하는 데 걸리는 시간 $\tau$를 최소화한다. 

3. Overshooting 등을 최소화하여 이 안정적으로 수렴하도록 한다.

 

3.4.1 Proportional Control

먼저 비례 제어에 대해 알아보자. 비례 제어는 controller가 error signal에 비례하는 control signal을 내보내는 경우를 의미한다. 그림 3.3.1과 비교하여 보면, 비례 제어에서 controller의 transfer function은 상수, 즉 $G_c(s) = K_{P}$이다. 따라서 controller output은

\begin{equation*} F(s) = G_c(s)E(s) = K_P E(s) \end{equation*}

로 쓸 수 있다. 그러나 비례 제어만을 사용하면 steady-state error가 $0$이 아니게 되는 경우가 종종 발생한다. 우리는 steady-state error가 $0$이 되도록 하기를 원하므로 새로운 제어 방식을 필요로 한다. 이를 해결할 수 있는 제어 방식이 적분 제어이다.

 

3.4.2 Integral Control Action

우리는 steady-state error가 존재하는 문제를 해결하기 위해, 양의 오차가 남아있는 채로 유지된다면 control signal이 증가하기를, 반대로 음의 오차가 남아있는 채로 유지된다면 control signal이 감소하기를 원한다. 따라서 오차의 부호에 따라 증감이 변하는 함수, 즉 오차를 시간에 대해 적분한 함수에 비례하는 control signal로 갖도록 하는 방식을 생각해볼 수 있다. 이러한 제어 방식을 적분 제어라 부르며, 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{equation*} f(t) = K_I \int_{0}^{t}e(t)dt. \end{equation*}

양변에 라플라스 변환을 취하면

\begin{equation*} F(s) = \frac{K_I}{s}E(s) \end{equation*}

로 쓸 수 있고, controller transfer function은 $G_c(s) = K_I/s$이다. 일반적으로는 적분 제어를 단독으로 사용하기보단 비례 제어와 적분 제어를 함께 사용한다. 이를 PI control이라 부르고, control signal은 다음과 같이 표현된다.

\begin{equation*} f(t) = K_Pe(t) + K_I \int_{0}^{t}e(t)dt. \end{equation*}

양변에 라플라스 변환을 취하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation*} F(s) = \left( K_P + \frac{K_I}{s}\right) E(s). \end{equation*}

 

3.4.3 Derivative control action

비례 제어는 error가 제거된 이후 control signal을 발생시키지 않지만, 적분 제어의 control signal은 누적된 오차에 비례하므로 error가 제거된 이후에도 control signal을 발생시킬 수 있고, 이에 따라 controlled variable의 값이 진동할 수도 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해선, error가 0으로 다가가고 있는지를 controller가 고려하도록 설계해야 한다. 이를 위한 방법 중 하나는 control signal이 error의 변화율에 비례하도록 하는 방법이다. 이를 미분 제어라 부른다. 이때 control signal은

\begin{equation*} f(t) = K_{D} \frac{de}{dt} \end{equation*}

이고, 양변에 라플라스 변환을 취하면

\begin{equation*} F(s) = K_{D}sE(s) \end{equation*}

로 쓸 수 있다. 물론 미분 제어는 단독으로 사용되기보단 비례 제어와 함께 사용된다. 이 경우 control signal은

\begin{equation*} f(t) + K_{P}e(t) + K_{D}\frac{de}{dt} \end{equation*}

이고, 양변에 라플라스 변환을 취하면

\begin{equation*} F(s) = \left( K_{P} + K_{D}s \right) E(s) \end{equation*}

로 쓸 수 있다.

 

3.4.4 PID action

앞서 언급한 제어 방법들에서 발생할 수 있는 문제들을 해결하기 위해, 세 가지 제어 방식을 모두 사용할 수도 있다. 이를 비례-적분-미분 제어, PID 제어라 부른다. 이 경우 control signal은

\begin{equation*} f(t) = K_Pe(t) + K_{I} \int_{0}^{t}e(t)dt + K_D \frac{de}{dt} \end{equation*}

이며, 양변에 라플라스 변환을 취하면

 

\begin{equation*} F(s) = \left( K_P + \frac{K_I}{s} + K_Ds\right)E(s) \end{equation*}

이다.

 

 

 

'제어공학 입문'은 3장을 끝으로 마무리하려 한다. 어쩌다보니 앞 장을 열심히 써 두고는 핵심 내용인 뒷부분을 대충 끝내버린 것 같지만.. '요약 노트'가 정체성인 이 글의 특성상 뒷부분에서 쓸 내용이 별로 없었다. 따라서 PID 제어의 기본 개념을 소개만 하고 마무리했다. 언젠가 더 제어를 더 심화적으로 공부하거나 관련 논문들을 읽어보다 보면 더 쓸 내용이 생길지도 모르겠다. 용두사미 그 자체가 되어버린 점에 반성하며.. 다음에 공부할 내용은 좀 더 체계적으로 써볼 수 있기를 기대한다.

 

1. '엄밀하지 않은 증명'인 이유가 여기에 있다. 극한기호와 적분기호가 왜 교환 가능한지, 어느 조건에서 교환 가능한지는 이 글의 범위를 벗어난다. 이는 해석학에서 다루는 내용이다. 다만 우리는, 적분이란 근본적으로 무한합이므로, 합의 극한은 극한의 합과 같다는 믿음에 의존하는 수밖에 없다. [본문으로]